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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{22-向量空间的基-维数-坐标-过渡矩阵}
%\institute{上海立信会计金融学院}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
\date{{\ppr 2022年12月8日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  向量空间的基与维数
\item  向量的坐标
\item  从一个基到另一个基的过渡矩阵
\item  同一个向量关于两个基的坐标之间的联系
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.1. 向量空间的基、坐标、维数的概念 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：向量空间 $V$ 的一个基是一个有序向量组 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots, \alpha_n)$, 满足条件：(1) 向量组 $\Phi$ 是线性无关的；(2) 向量空间 $V$ 可以由向量组 $\Phi$ 线性张成，即 $V=L(\Phi)$. }

\vspace{0.5cm}

 \item {\color{red}定义：设向量 $\xi\in V$ 可以写成 $\xi = \Phi\cdot x = x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n$, 其中  $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^t \in F^n$, 则称 $x$ 是向量 $\xi$ 关于基 $\Phi$ 的坐标。}

\vspace{0.5cm}

 \item {\color{red}定义：如果一个向量空间的基包含 $n$ 个向量，那么称这个向量空间是 $n$ 维的，记为 $\dim_F V=n$. }
 
\vspace{0.5cm}

 \item  定理：两个线性无关的向量组 $\Phi$ 与 $\Psi$ 如果可以相互线性表示，即 $L(\Phi)=L(\Psi)$, 那么它们含有相同个数的向量。
 
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.2.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子1：设 $V$ 是一个向量空间。设 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots, \alpha_n)$ 是 $V$ 的一个基。
设向量 $\xi$ 关于这个基的坐标是 $x=(x_1,x_2,\cdots, x_n)^t$. 
设向量 $\eta$ 关于这个基的坐标是 $y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)^t$. 
求向量 $2\xi+3\eta$ 关于这个基的坐标。

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  根据坐标的定义，可得 $\xi = \Phi\cdot x$ 以及 $\eta=\Phi\cdot y$. 
\item  根据向量空间的数乘与加法的运算规律，可得
 {\footnotesize
\begin{eqnarray*}
2\xi+3\eta = 2(\Phi\cdot x) + 3(\Phi\cdot y) = \Phi\cdot (2x+3y).
\end{eqnarray*}
}
\item  根据坐标的定义，可得向量 $2\xi+3\eta$ 关于这个基的坐标为 
 {\footnotesize
\begin{eqnarray*}
2x+3y &=& 2(x_1,x_2,\cdots, x_n)^t + 3(y_1,y_2,\cdots, y_n)^t \\
&=& (2x_1+3y_1, 2x_2+3y_2, \cdots, 2x_n+3y_n)^t. 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.3.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子2：考虑向量空间 $V=\mathbb{R}^3$ 中的向量组，
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\Phi = ( \alpha_1=(-2,1,3), \, \alpha_2=(-1,0,1), \, \alpha_3=(-2,-5,-1) ). 
\end{eqnarray*}
}
证明 $\Phi$ 是 $V$ 的基，并求向量 $\xi=(4,12,6)$ 关于 $\Phi$ 的坐标。

\item  解答：将这些向量按列向量的方式排成矩阵\, 
{\footnotesize
%\begin{eqnarray*}
$A=\begin{pmatrix} -2&-1&-2 \\ 1&0&-5 \\ 3&1&-1 \end{pmatrix}. 
$%\end{eqnarray*}
}
因为 $\det(A)=2\neq 0$, 所以向量组  $\Phi$ 是 $V$ 的基。由坐标的定义，可得 
$\xi=x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \Phi\cdot x$. 所以 
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
x=\begin{pmatrix}  -2&-1&-2 \\ 1&0&-5 \\ 3&1&-1  \end{pmatrix}^{-1}
\cdot 
\begin{pmatrix} 4 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 7 \\ -16 \\ -1 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.4. 从一个基到另一个基的过渡矩阵}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定义：设 $V$ 是一个向量空间。设 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 与 $\Psi=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ 是 $V$ 的两个基。将第二个基的每个向量表示成第一个基的线性组合， 设有
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
(\beta_1,\beta_2,\beta_3) 
= 
(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\cdot 
\begin{pmatrix} k_1&\ell_1&m_1 \\ k_2&\ell_2&m_2 \\ k_3&\ell_3&m_3 \end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
}
则称等式右边的这个矩阵是从基 $\Phi$ 到基 $\Psi$ 的过渡矩阵。
}

\vspace{0.5cm}

\item  {\color{red}定义：在有限维向量空间 $V$ 中，从一个基 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 到另一个基 $\Psi=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)$ 的过渡矩阵 $T$ 由等式 $\Psi = \Phi\cdot T$ 定义。} 
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.5. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子3：设 $V=\mathbb{R}^2$. 求从一个基 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2)$ 到另一个基 $\Psi=(\beta_1,\beta_2)$ 的过渡矩阵，其中
{\footnotesize $
\alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\,\,
\alpha_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\,\,\,\,\,
\beta_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix},\,\,
\beta_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}.
$}

\item 解答：

\begin{enumerate}

\item 首先按过渡矩阵的定义写出下述等式，
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
(\beta_1,\beta_2) = (\alpha_1,\alpha_2)\begin{pmatrix} k_1&\ell_1 \\ k_2&\ell_2 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
\item 然后代入具体数字（注意按列向量方式代入），计算可得所求过渡矩阵。 
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} k_1&\ell_1 \\ k_2&\ell_2 \end{pmatrix}
\,\,\Rightarrow \,\, 
\begin{pmatrix} k_1&\ell_1 \\ k_2&\ell_2 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} -1&1 \\ 2& 1 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.6.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  例子4：设 $V=\mathbb{R}[x]_2$ 是次数小于或等于2的实系数多项式全体组成的集合，在多项式的加法与数乘下成为一个向量空间。
\begin{enumerate}
\item 验证下述向量组 $\Phi$ 与 $\Psi$ 都是 $V$ 的基，
$$\Phi=(1,x,x^2),\,\, \Psi =(1,x-1,(x-1)^2).$$

\item 求从 $\Phi$ 到 $\Psi$ 的过渡矩阵。 
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.7.  例子4解答：验证 $\Phi$ 是一个基}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item 线性无关：
\begin{enumerate}
\item 设有 $k_1\alpha_1 +k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=\theta$.
\item 代入向量的具体形式，可得 $k_1+k_2x+k_3x^2=0$, 这里右边是零多项式。
\item 根据多项式相等的定义是系数对应相等，可得 $k_1=k_2=k_3=0$. 
\end{enumerate}

\item 线性表示：
\begin{enumerate}
\item $V$ 中任意一个向量都可以写成 $1,x,x^2$ 的线性组合的形式。
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.8.  例子4解答：验证 $\Psi$ 是一个基}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item 线性无关：
\begin{enumerate}
\item 设有 $k_1\beta_1 +k_2\beta_2+k_3\beta_3=\theta$.
\item 代入向量的具体形式，可得 $k_1+k_2(x-1)+k_3(x-1)^2=0$. 
\item 根据多项式相等的定义是系数对应相等，可得 $k_1=k_2=k_3=0$. 
\end{enumerate}

\item 线性表示：
\begin{enumerate}
\item $V$ 中任意一个向量 $\xi$ 都可以写成 $a+bx+cx^2$ 的形式。

\item 因为 $$a+bx+cx^2 = c(x-1)^2 + (b+2c)(x-1)+(a+b+c),$$
所以 $\xi$ 也可以写成 $1,x-1,(x-1)^2$ 的线性组合的形式。

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.9.  例子4解答：计算从 $\Phi$ 到 $\Psi$ 的过渡矩阵}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item 按照过渡矩阵的定义，写出下述等式
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
(\beta_1,\beta_2,\beta_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\cdot \begin{pmatrix} k_1&\ell_1&m_1 \\ k_2&\ell_2&m_2 \\ k_3&\ell_3&m_3 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\item 代入向量的具体形式，可得
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
(1,x-1,(x-1)^2) = (1,x,x^2)\begin{pmatrix} 1&-1&1 \\ 0&1&-2 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\item 上述右边的矩阵即是所求的过渡矩阵。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.10.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定理：设 $V$ 是一个有限维向量空间。设从基 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 到基 $\Psi=(\beta_1,\beta_2,\cdots, \beta_n)$ 的过渡矩阵是 $T$. 设向量 $\xi\in V$ 关于基 $\Phi$ 的坐标是 $x=(x_1,x_2,\cdots, x_n)^t$, 关于基 $\Psi$ 的坐标是 $y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^t$. 则有 $$x=Ty.$$ }

%\vspace{-0.6cm}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  按坐标的定义，有 $\xi=\Phi\cdot x =\Psi\cdot y$. 
\item  按过渡矩阵的定义，有 $\Psi = \Phi\cdot T$. 
\item  由上面两个等式以及运算的结合律，可得 $\Phi\cdot x =(\Phi\cdot T)\cdot y = \Phi\cdot (Ty)$. 
\item  因为 $\Phi$ 线性无关，所以等式两边约去 $\Phi$, 可得 $x = Ty$. 
\end{enumerate}

\item  注：在上述记号中，基的元素写成一行，坐标的元素写成一列。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.11.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子5：考虑向量空间 $V=\mathbb{R}^3$ 中的两组向量，
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\Phi &=& ( \alpha_1=(-3,1,-2), \, \alpha_2=(1,-1,1), \, \alpha_3=(2,3,-1) ), \\ 
\Psi &=& ( \beta_1=(1,1,1), \, \beta_2=(1,2,3), \, \beta_3=(2,0,1) ). 
\end{eqnarray*}
}
证明 $\Phi$ 与 $\Psi$ 都是 $V$ 的基，并求从 $\Phi$ 到 $\Psi$ 的过渡矩阵。

\item  解答：将向量组按列向量方式排成矩阵，由行列式的值不为零，可得 $\Phi$ 与 $\Psi$ 都是线性无关的向量组。又因为 $V$ 的维数等于3, 所以 $\Phi$ 与 $\Psi$ 都是 $V$ 的基。由过渡矩阵的定义，$\Psi=\Phi\cdot T$，代入可得
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&1&2 \\ 1&2&0 \\ 1&3&1 \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} -3&1&2 \\ 1&-1&3 \\ -2&1&-1  \end{pmatrix}\cdot T 
\,\,\,\Rightarrow \,\,\, 
T = \begin{pmatrix} -6&-19&-1 \\ -13&-42&-1 \\ -2&-7&0  \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.12.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子6：平面 $V=\mathbb{R}^2$ 中的标准基是 $\Phi= (\varepsilon_1=(1,0), \varepsilon_2=(0,1))$. 将标准基逆时针旋转 $t$ 角度，得到另一个基 $\Psi = (\alpha_1,\alpha_2)$. 
\begin{enumerate}
\item  求从 $\Phi$ 到 $\Psi$ 的过渡矩阵。
\item  求任意向量关于这两个基的坐标。
\end{enumerate}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item   由平面几何可得 $\alpha_1=(\cos(t),\sin(t)), \, \alpha_2=(-\sin(t), \cos(t))$. 由过渡矩阵的定义 $\Psi=\Phi\cdot T$ 可得\, 
{\footnotesize
$%\begin{eqnarray*}
T=\begin{pmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix}. 
$%\end{eqnarray*}
}

\item  向量 $\xi=(x_1,x_2)$ 关于标准基 $\Phi$ 的坐标就是 $x=(x_1,x_2)^t$. 设这个向量关于基 $\Psi$ 的坐标是 $y=(y_1,y_2)^t$, 则根据定理可得 $x=Ty$, 所以 
 {\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} 
=y= T^{-1}x
=\begin{pmatrix} \cos(t) & \sin(t) \\  -\sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix} x_1\cos(t)+x_2\sin(t) \\ -x_1\sin(t)+x_2\cos(t) \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.13. 课堂练习 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  设 $V$ 是一个向量空间。设 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4)$ 是 $V$ 的一个基。求从基 $\Phi$ 到另一个基 $\Psi=(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_4, \alpha_3)$ 的过渡矩阵。

\item  考虑向量空间 $V=\mathbb{R}^3$ 中的两组向量，
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\Phi &=& ( \alpha_1=(1,2,-1), \, \alpha_2=(0,-1,3), \, \alpha_3=(1,-1,0) ), \\ 
\Psi &=& ( \beta_1=(2,1,5), \, \beta_2=(-2,3,1), \, \beta_3=(1,3,2) ). 
\end{eqnarray*}
}
证明 $\Phi$ 与 $\Psi$ 都是 $V$ 的基，并求从 $\Phi$ 到 $\Psi$ 的过渡矩阵。


\end{enumerate}

\end{frame}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{22.14. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  解答思路：按定义，$\Psi = \Phi\cdot T$, 由此求得过渡矩阵为 
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
T=\begin{pmatrix} 0&1&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item  解答思路：计算行列式的值，验证这两个向量组都是基。过渡矩阵为 
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
T=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 7&2&7 \\ 9&2&5 \\ 1&-10&-3 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}


\end{enumerate}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

